질량 관성모멘트 정의와 동역학해석에서의 사용

이전에 관성모멘트에 대해서 다루어 보았습니다. 관성모멘트는 보통 아래와 같이 구분을 합니다. 

• 면적 관성모멘트
  • 단면 2차 모멘트(단면 관성모멘트): 굽힘에 저항을 나타내는 물리량  
  • (단면) 극 관성모멘트: 비틀림에 저항을 나타내는 물리량
• 질량 관성모멘트: 회전에 저항을 나타내는 물리량

면적 관성모멘트(단면 2차 모멘트, 극관성모멘트)는 이전의 "면적 관성모멘트란?" 내용을 참고하시기 바랍니다. 

이번엔 질량 관성 모멘트를 알아보겠습니다. 

 

질량 관성모멘트 (Mass Moment of Inertia)

질량 관성모멘트는 물체가 어떤 회전 축에 대한 "회전운동에 대해 저항을 나타내는 물리량"입니다. 어떤 주어진 축을 중심으로 회전하는 점 질량 (Point Mass)에 대한 관성모멘트는 아래와 같습니다. 

 

$$I=mr^2$$

 

예를 들어 질량분포도 동일하고 질량이 동일한 두개의 원판이 있을 때, 모델 A는  회전 반지름이 크고 모델 B는 회전 반지름이  작은 경우 모델 A를 회전 시키는데 더 많은 힘이 필요합니다. 실생활에서 피겨스케이트 선수나 다이빙 선수들이 회전속도를 빠르게 하기위해서 자세를 더 움츠리는 이유도 이와 같습니다. 

(Image: https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia)

마찬가지로 질량이 동일한 6개의 실린더가 경사면에 놓여있을때 질량 관성모멘트 $I$ 값이 가장 큰  붉은색 실린더가 회전에 대한 저항이 크므로 가장 느리게 빗면을 내려오는 것을 확인 할 수 있습니다. 

 

(Image: https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia)

 

그렇다면 동역학 해석에서는 이 질량 관성모멘트가 어떻게 사용될까요? 아래 그림에서 알수 있듯이 $I_{zz} $ 값은 회전 축에서부터 반지름이 가장 큰 $y$축과 $z$축에 대해서 가장 크게 계산됩니다. 즉, $x$축에 대한 회전의 저항력은 상대적으로 $y,z$축 보다는 낮게 됩니다. 

물체의 여러 형태에 따라 계산되는 관성모멘트는 달라집니다. 위의 그림과 같은 원통 실린더의 질량 관성모멘는 아래와 같이 계산합니다. 

이 계산식을 바탕으로 위의 해석모델의 경우 각 축에 대한 질량 관성모멘트를 직접 계산해보면 아래와 같습니다. 

 

$I_{xx}= \frac{1}{2}mr^2=  \frac{1}{2}×61.654×50^2=77067.5[ mm^2]$

$I_{yy}=\frac{1}{4} mr^2+\frac{1}{12} mL^2=\frac{1}{4}×61.654×50^2+\frac{1}{12}×61.654×1000^2=5176367.1 [mm^2]$

$I_{zz}=\frac{1}{4} mr^2+\frac{1}{12} mL^2=\frac{1}{4}×61.654×50^2+\frac{1}{12}×61.654×1000^2=5176367.1 [mm^2]$

 

 

그렇다면 $I_{xy}$, $I_{yz}$, $I_{zx}$ 값이 의미하는 것은 무엇일까요? 이것을 우리는 관성 곱(Product of inertia)이라고  하는데 양수(+), 음수(-), 0 의 값이 계산될 수 있습니다. 회전 축을 중심으로 비대칭 정도를 나타낸다고 이해하시면 됩니다. 관성 곱이 0이면 그 회전 축은 주축(Principal axis)가 되고 주축에 대하여 대칭이라는 것을 의미합니다.