면적 관성모멘트(단면 2차모멘트와 극관성 모멘트) 정의와 구조해석에서의 사용

모멘트(Moment)

 

대부분 모멘트는 힘과 거리의 곱으로 이해를 하고 있습니다. 물론 힘과 거리의 곱도 맞습니다. 하지만 조금 더 정확한 의미는 아래와 같습니다. 

어떤 축으로부터 어떤 물리량이 있는 위치까지 수직으로 곱한 양

 

힘이라는 물리량과 거리의 곱도 모멘트의 종류이지만 모멘트의 정확한 정의는 아닙니다.

즉, 위의 정의와 같이 모멘트는 어떤 물리량에 힘을 정의할 수도 있고 단면이 될 수도 있으며 질량이 될 수도 있습니다. 

 

관성모멘트는 어떤 물리량(면적, 질량 등...)이 회전을 할 때 그 상태를 유지하려고 하는 물리량입니다. 관성모멘트는 흔히 아래와 같이 구분합니다. 

 

• 면적 관성모멘트
  • 단면 2차 모멘트(단면 관성모멘트): 굽힘에 저항을 나타내는 물리량
  • (단면) 극 관성모멘트: 비틀림에 저항을 나타내는 물리량
• 질량 관성모멘트: 회전에 저항을 나타내는 물리량

일반적으로 모두 관성모멘트라고 정의하고 있어 처음엔 헷갈릴 수 있습니다. 면적 관성모멘트(단면 2차모멘트, 극 관성모멘트)는 주로 고체역학에서 많이 다루고 질량 관성모멘트는 동역학에서 많이 다루며 서로 단위도 다릅니다. 

 

면적 관성모멘트 (Area Moment of Inertia)

어떤 Beam 이 굽힘을 받게 되면 단면의 두께가 얇은 Beam은 아래 그림과 같이 쉽게 굽힘이 일어나지만 반대로 두께가 두꺼우면 상대적으로 덜 굽힘이 일어나게 됩니다. 

이와 같이 외부의 힘이 물체에 작용할 때  "굽힘에 대해 저항을 나타내는 물리량"을 단면 2차모멘트, 단면 관성모멘트 또는 관성모멘트 라고 합니다.  

단면 2차 모멘트의 수식 정의는 아래와 같이 기준 축으로부터 미소 면적까지 떨어진 거리$y$의 제곱과 미소 면적의 곱을 전체 면적에 대하여 적분한 것으로 표현됩니다. 거리의 제곱이 사용되어 단면 2차 모멘트라고도 하고 단위는 거리의 제곱과 면적의 곱이므로 $mm^4$ 이 됩니다. 

 

 

$x$축에 대한 단면2차 모멘트 $I_{xx} =\int_A y^2dA $,   $y$축에 대한 단면 2차모멘트  $I_{yy} =\int_A x^2dA $

 

이 단면 2차 모멘트 값이 커지면 굽힘에 대한 저항이 커지고, 작으면 굽힘에 대한 저항이 작아지게 됩니다. 

아래의 사각형의 도심 축에 대한 단면 2차 모멘트의 계산식을 보면 높이$h$가 세제곱이므로 폭$b$ 보다 단면 2차모멘트를 더 높이는 요소입니다. 따라서 설계자는 굽힘모멘트에 더 크게 저항하는 사각형 Beam을 선정하려면 높이$h$가 큰 단면이 유리합니다. 

(Image: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_second_moments_of_area)

 

그렇다면 면적 관성모멘트의 차이에 따라 구조해석 결과로 처짐량을 비교해 보았습니다.

단면A는 폭이 5mm, 높이가 30mm이고 두번째 단면은 폭이 10mm, 높이가 15mm입니다. Z축에 대한 면적 관성모멘트는 단면A이 더 높게 계산됩니다.

 

아래와 같이 양단 지지되어 있는 보(BEAM)에 동일한 10kg의 분포하중이 작용할 때 굽힘에 대한 저항이 단면A가 더 높은지 처짐량 결과를 확인합니다.

구조해석 결과에서 확인 할 수 있듯이 Z축에 대한 굽힘 하중에 발생할 때, Z축에 대한 면적 관성모멘트 더 값이 큰 조건인 단면A가 굽힘 강성이 더 높은 것을 확인할 수 있었습니다. 

 

단면 극 관성모멘트 (Polar Moment of Inertia)

단면 극 관성모멘트는 물체에 토크가 작용할 때  "비틀림에 대해 저항을 나타내는 물리량"입니다. 즉, 극관성 모멘트값이 크면 토크에 의한 비틀림 강성이 높이 반대로 작으면 비틀림 강성이 낮게 됩니다. 

극 관성모멘트의 수식 정의는 아래와 같이 기준 축으로부터 미소 면적까지 떨어진 거리$\rho$의 제곱과 미소 면적의 곱을 전체 면적에 대하여 적분한 것으로 표현됩니다. 피타고라스의 정리에 따라 $\rho^2 = x^2+y^2$ 이므로 위에서 언급한 $x$축과 $y$축에 대한 단면 2차모멘트의 합으로 나타낼 수 있습니다. 

 

$$ I_{p}=\int_a  \rho ^2dA  = \int_a  (x^2+y^2)dA $$

 

 

따라서, 기준 축으로부터  떨어진 거리$\rho$가 클수록 비틀림에 대한 강성이 높습니다.

 

마찬가지로 구조해석으로 극관성모멘트 값이 작고 큰 모델의 변위를 비교해 보았습니다. 끝단이 지지되어 있고 반대쪽은10,000Nm의 비틀림 토크를 적용시켰을 때, 당연히 극관성모멘트 값이 작은 모델이 더 많은 변위가 발생하였고,비틀림 토크에 대한 저항이 낮게 나타남을 확인하였습니다.